В 1980 году окончил Ростовское училище искусств. В 1984 году окончил Школу-студию МХАТ (курс И. Тарханова). Снимается в кино с 1979 года (дебютировал в роли Ивана, сына Клавдии в фильме «Цыган»). В 1985 году снялся в продолжении телефильма – «Возвращение Будулая». Роль сына Клавдии принесла актеру всесоюзную славу и любовь зрителей.

Посетил множество стран, жил в Новой Зеландии, где провёл два года. Вёл русскоязычную передачу на новозеландском радио, трудился маляром, строителем, курьером в ресторане, работал в разделочном цехе на рыболовном судне в океане, пел на клиросе в новозеландском православном храме. C 1986 года по настоящее время актёр театра «Около дома Станиславского». Сотрудничает с телеканалом «Спас».

Много лет занимается бардовской песней, пишет стихи, музыку, выступает с концертами. Ведёт на телевидении еженедельную передачу для детей об истоках Православия. Работает в театре «АПАРТЕ». Автор, актёр закадрового озвучивания и кукловод программы «Сам себе режиссёр» на телеканале «Россия».

Алексей Никульников был женат дважды. Сын Борис от первого брака трагически погиб в десятилетнем возрасте. Мальчика сбила электричка, вследствие чего он получил серьёзную черепно-мозговую травму. Скончался после двухнедельного пребывания в коме. Супруга Алексея после смерти сына принята постриг. Со второй женой — Еленой Авакумовой — прожил в браке 11 лет. В 2016-м году она умерла от рака.